Основные понятия теории вероятностей

Демо-версия

Для лентяя

Введение

Богатство и разнообразие применений теории вероятностей привлекают к ней многих людей. Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является экономика. В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических явлений без использования эконометрического моделирования, регрессионного анализа, трендовых и сглаживающей моделей и других методов, опирающихся на теорию вероятностей. Общая тенденция современной математики и ее приложений состоит в резком повышении роли тех разделов науки, которые анализируют явления, имеющие “случайный” характер, и основываются на теории вероятностей. Статистическая теория во многом основана на теории вероятностей, хотя здесь есть и обратная связь: при построении вероятностной модели также используются данные статистики. Теория вероятностей - это наука, а ее предмет- случайность, которая, казалось бы, не поддается никакому научному предсказанию. В дальнейшем мы увидим, что противоречие здесь кажущееся, так как теория вероятностей изучает свойства массовых случайных событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Познавательная ценность теории вероятностей обусловлена тем, что массовые случайные явления в своем совокупном действии создают строгие закономерности.

Современная теория вероятностей начинается с установления аксиоматики, которую впервые в законченном виде сформулировал в 1933 году А.Н. Колмогоров в книге “ Основные понятия теории вероятностей” .

Хотя возникновение теории вероятностей как науки относится к середине XVII века и связано с именами Паскаля, Ферма, Гюйгенса, но отдельные задачи, подсчета шансов в азартных играх, рассматривались ранее - XV-XVI в. итальянскими математиками Кардано, Пачоли, Тарталья и др.. Пожалуй, работы Паскаля и Ферма можно рассматривать лишь как предысторию теории вероятностей, а настоящая история начинается с закона больших чисел Я. Бернулли (“ Искусство предположений”, 1713г.) и найденного вскоре Муавром нормального приближения к биномиальному распределению (“ Аналитическая смесь ” , 1730г.).

Дальнейшее развитие этой науки связано с именами Лапласа, Пуассона, Гаусса. Важный период в развитии теории вероятностей связан с именами П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова, создавших эффективные методы предельных теорем. Первые попытки установления аксиоматики принадлежат С.Н. Бернштейну, Р. Мизесу, Э. Борелю.

§ 1. Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей является теоретической базой статистики, она дает возможность рационального, обоснованного выбора решений в условиях неопределенности. Последнее, неопределенность, объективно имеет место в реальной жизни. Например, объем будущего спроса на производимую продукцию, размер процентной ставки, курсы валют могут быть оценены с некоторой долей уверенности. Теория вероятностей предоставляет средства для создания методов такого оценивания.

Исходным для теории вероятностей является понятие случайного (стохастического) эксперимента (опыта).

Случайным экспериментом называют действие или последовательность действий, которое

• а) (по крайней мере, в принципе) может быть воспроизведено в неизменных условиях неограниченное число раз;
• б) результат (исход) которого не может быть предугадан заранее.

Понятие результата (исхода) случайного эксперимента нуждается в детализации. Для единства терминологии результаты экспериментов (опытов) или наблюдений будут называться событиями. Будем различать также составные (или разложимые) события и элементарные (или неразложимые).

Элементарным событием (исходом) будем называть такой результат случайного эксперимента, который несет в себе полную информацию о его последствиях, является неразложимым. Каждый неразложимый исход представляется одним и только одним элементарным событием. Элементарные события будем обозначать греческими литерами w , или w ₁,w _2,w _3, .. .

(Заметим, что термин “элементарное (или неразложимое) событие остается столь же неопределенным, что и термины “точка” или “прямая” в геометрии).

Множество всех элементарных событий эксперимента называют пространством элементарных событий и обозначают литерой W , а сами элементарные события - точками этого пространства W ={ w ₁,w ₂,w _3, ... }.

Все события, связанные с данным случайным экспериментом, могут быть описаны как совокупности элементарных событий их называют (случайными) событиями. События обозначают заглавными литерами латинского алфавита A,B,C,D,A_1,B₂, ... . Каждому событию соответствует некоторое подмножество множества элементарных исходов W _.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1.1. На горизонтальную поверхность бросается игральная кость. Рассмотрим два из возможных исходов этого эксперимента, w _4, состоящего в том, что на верхней грани появиться четыре очка, и В, состоящего в том, что на верхней грани появиться четное число очков.

Замечаем, что наступление события w ₄ однозначно указывает на результат эксперимента, в то время как наступление события В не дает возможности определить, каков все же результат (может появиться два, четыре или шесть очков). u

Пример 1.2. В эксперименте с бросанием игральной кости обозначим w _i событие, состоящее в том, что на верхней грани появилось i очков,

i = 1, 2, ..., 6.

Очевидно, что множество w _i , состоящее из одного элемента (w _{i =}{i}), есть элементарный исход, и поэтому W = { w _1,w _2, ..._, w ₆}. Событию В - “на верхней грани появилось четное число очков” - соответствует подмножество { w _{2,w 4, w 6}}; событию А - ”число очков на верхней грани не превосходит четырех” - соответствует подмножество { w ₁ w _2,w _3, w ₄}. u

Заметим, что элементарные исходы могут состоять из множеств бесконечного числа элементов.

Пример 1.3. По цели производится серия выстрелов, до первого попадания.

Обозначим литерой Н факт, состоящий в том, что цель не поражена П - произошло попадание. Тогда последовательность литер НННП означает, что цель поражена впервые при четвертом выстреле, такой исход- элементарный, (w ₁={П}, w ₂={НП}, ..., w ₅={ННННП}, ...) пространство элементарных исходов W можно представить в виде

W ={П, Н П, Н Н П, Н Н Н П, Н Н Н Н П, ...}.

Событие С - “потребовалось не менее трех выстрелов” - изображается подмножеством С ={Н Н П, Н Н Н П, Н Н Н Н П, ...}. u

Понятие о вероятности, как о мере неопределенности, возможности осуществления события в результате реализации случайного эксперимента, интуитивно понятно. Так, в эксперименте с бросанием кости событию w ₄ естественно приписать вероятность ¹/₆ ( из шести возможных элементарных исходов один приводит к осуществлению исхода “появилось четыре очка”), событию В естественно сопоставить вероятность ¹/₂ ( из шести возможных элементарных исходов три приводят к появлению четного числа очков), событию W - “появилось сколько - ни будь очков” естественно приписать вероятность 1 ( из шести возможных элементарных исходов все шесть приводят к осуществлению W ).

Таким образом, под вероятность случайного события понимают меру возможности его появления или не появления. Другими словами: каждому элементарному событию w _i приписан некоторый “вес” р_i , называемый вероятностью элементарного события w _i ( Р(w _i) = р_i ).

---

Определение 1.1. Пусть случайному эксперименту соответствует пространство элементарных исходов W = { w _1,w _2, ..._, w _{n ,}...}. Пусть, далее, каждому элементарному исходу w _i соответствует число Р(w _i), называемое его вероятностью, такое, что

1) Р(w _i) ³ 0,

2) Р(w ₁) + Р(w ₂) + ... = 1.

Если событию А соответствует подмножество элементарных исходов {w _{i1,w i2,} ...}, то вероятностью события А называют сумму

Р(А) = Р(w _i1) + Р(w _i2) + ... = .

---

В конкретных задачах весь вопрос о вычислении вероятностей как раз и состоит в том, как задать вероятности элементарных исходов Р(w _i).

---

Определение 1.2. (Классическое определение вероятности)

Пусть пространство элементарных исходов с конечным числом n равновозможных исходов: W = { w _1,w _2, ..._, w _n }, и событию А соответствует подмножество W из m_А элементов (т.е. событию А благоприятствует m_А элементарных исходов). Тогда вероятностью события А называют отношение

.

---

(Вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих его осуществлению, к общему числу одинаково возможных исходов, число которых конечно).

Заметим, что в силу этого определения

,

и, таким образом, все элементарные исходы равновероятны.

Пример 1.4. Трижды подряд бросается симметричная монета. Найдем вероятности событий:

а) А₁ - дважды выпадет “герб”;

б) А₂ - при втором бросании выпадет “решетка”;

в) А₃ - “гербов” выпадет больше, чем “решеток”.

Р е ш е н и е.

Пусть Г означает, что выпал “герб”, Р- что выпала “решетка”. Тогда пространство элементарных исходов W состоит из восьми элементов:

W = {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, ГРР, РГР, РРГ, РРР}.

Событию А₁ соответствует подмножество { ГГР, ГРГ, РГГ},

А₂ - подмножество { ГРГ, ГРР, РРГ, РРР}, А₃ - подмножество {ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ}. Если монета не фальшивая, то естественно считать все элементарные исходы равновероятными, и в силу определения 1.2 получаем

, , . u

Как уже отмечалось, классическое определение вероятности события ограничено требованием равновероятности элементарных исходов, то есть случайный эксперимент должен быть в этом смысле “симметричным”. Как только это предположение нарушается (например, бросают монету со смещенным центром тяжести), вопрос о вычислении вероятностей нуждается в уточнении.

Практически он решается с применением понятия статистической вероятности события.

Пусть случайный эксперимент производится n раз (n- достаточно большое число). Обозначим n_А число появлений события А в первых n экспериментах. Число называют частотой события А.

Оказывается, что при соблюдении неизменными условий эксперимента частота с ростом n колеблется возле некоторого числа, которое естественно назвать (статистической) вероятностью события.

Пример 1.5. Естествоиспытатели Ж. Бюффон и К. Пирсон произвели опыты с бросанием симметричной монеты с целью экспериментального подтверждения того, что вероятность (“классическая”) выпадения герба равна ¹/₂.

Результаты эксперимента приведены в таблице.

Экспериментатор	Число подбрасываний n	Число “гербов” nA	Относит. частота nA/n
Опыт Ж. Бюффона	4040	2048	0.5069
Опыт К. Пирсона	12000	6019	0.5016
Опыт К. Пирсона	24000	12012	0.5005

Как легко обнаружить (последний столбец таблицы), частота появлений герба весьма близка к “теоретическому” значению 0.5 и приближение тем лучше, чем больше число подбрасываний. u

Пример 1.6. Результаты бросания монетки были смоделированы на ЭВМ, проведено 10 серий по 15 000 испытаний в каждой. В таблице показана часть результатов эксперимента

№ серии	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	0	1	0	0	1	0	1	0	1
2	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0

результаты испытаний ( 0 - “решетка”; 1 - “герб”)

14999	0	1	0	1	1	1	1	1	0	1
15000	0	0	0	1	0	1	1	1	1	0
Отн. частота	0.498	0.502	0.504	0.496	0.500	0.498	0.500	0.508	0.500	0.501

Если объединить эти опыты и вычислить относительную частоту для

n = 150000 испытаний, то относительная частота будет равна 0.500111.

Доказывается (“Закон больших чисел”), что подобное явление есть правило в естественнонаучных исследованиях.

На таких опытах основывается вообще решение вопроса о вероятности того или иного события, связанного с реальными случайными явлениями. u

Пример 1.7. (К. Крамер). В течение 1935 г. в Швеции было зарегистрировано 88273 новорожденных, из которых 45682 мальчика. Частота рождения мальчика равна 0.518 с точностью до 0.001. В том же источнике приводятся данные о рождениях в Норвегии на протяжении 1871-1900гг. : всего новорожденных 928570, из них 477533 мальчика. В этом случае частота рождения мальчика равна 0.514 с той же точностью.

G В демографии вероятность рождения мальчика принимается равной 0.51. u

4 В оглавление Дальше &